Limites

El concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

INTERVALOS

Un intervalo (del latín intervallum) es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porciónde recta entre dos valores dados.

Un intervalo real es una parte de que verifica la siguiente propiedad



TIPOS DE INTERVALOS:

1. INTERVALOS CERRADOS  [    ]
   En un intervalo cerrado se incluyen los extremos
    
       Ejemplo: 
   
   
   
   
   
   
   
   
2. INTERVALOS ABIERTOS (      )
   En el intervalo abierto no se incluyen los extremos
   
   
       Ejemplo:
   
   
   
   
   
   
   

   
   
3. INTERVALO SEMI-ABIERTOS
   
       a) Intervalos semi-cerrado por la derecha.     [      )
   Del lado izquierdo sí se incluye el número, mientras que en el derecho no se incluye.
   
          Ejemplo:
   

   

   
   
   

   
   

   
   
   
   

       b) Intervalos semi-cerrado por la izquierda.     (     ]
   Del lado no se incluye el número; pero del lado derecho si se incluye.
      
          Ejemplo:
   
   
   
   

   

   
   
   
   

   
   

FUNCIÓN

        - DEFINICIÓN:

  Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos donde cada elemento de un primer conjunto, llamado dominio, le corresponde a un único elemento, llamado codominio (rango o imagen); donde se establece una regla de correspondencia que indica de que forma pasan los elementos de un conjunto a otro.

          - CLASIFICACIONES DE FUNCIÓN:

            - EJEMPLOS DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

•  Función lineal:
  y=2x
• 
  
  
• Función de identidad:
  f(x)=xy
  
  
  
  
  
  

  
  
• Función a fin:
  y=mx+n
  

  

  
  

  
  
• Función cuadrática
  f(x)=ax^2+bx+c
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 
  Función parte entera de x
  f(x) = f(x)
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• Función Racional
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  Formas de expresión de una función puede ser mediante tablas:
  
  
  
  
  
  
  Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)]
  

DESIGUALDADES

PROPIEDADES DE ORDEN EN LA DESIGUALDAD

SÍMBOLOS PARA LAS DESIGUALDADES

• ≥ mayor o igual qué
  
• ≤ menor o igual qué
  
• < mayor qué
  
• > menor qué 

COMENZAMOS CON:

1. TRICOTOMÍA.
   
   Sí x y y son números reales,exactamente una de las siguientes afirmaciones se cumple, x menor que y.
   
   
   x ≥ y

   
   

   x < y
2. TRANSITIVIDAD.
   Si cambia el orden de los miembros la desigualdad,cambia el signo.
   
   
   a>b b<a
3. MULTIPLICACIÓN. 
   Si los 2 miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva,el signo de la desigualdad no varía.
   
   
   
   a>b
   
   
   ac>bc y a/c>b/c
4. SUMA.
   Para todos los números reales
   
   
   (x,y,z)si x>y 

   
   
   entonces
   

    x+z<y+z
5. RESTA.
   
   Si
   

   x<y

   
   entonces
   

   x-z<y-z

   
   
   para todos los números reales. Aunque se le reste el mismo número x y y va a resultar ser a y.
6. ANTIREFLEXIBLE.
   Para todos los números reales x no es menor.